Types d’événements en probabilité

Dans les conversations quotidiennes, les gens utilisent souvent des déclarations comme « Il pourrait pleuvoir aujourd’hui » ou « Je réussirai très probablement l’examen car l’examen n’était pas trop difficile » ou « Il sera très probablement sélectionné ». Dans les 3 déclarations, des mots comme pourrait, probablement, très probablement sont utilisés, et ils sont utilisés pour indiquer la probabilité ou la certitude que quelque chose se produise. Donc, si les mots peuvent exprimer la probabilité d’un certain événement, pourquoi un chapitre entier est-il consacré à la probabilité ? C’est parce que la probabilité en mathématiques aide à déterminer la probabilité exacte qu’un événement se produise. Par exemple, il y a 2 affirmations données : « Il va probablement pleuvoir aujourd’hui » et « Il y a 70 % de chances qu’il pleuve aujourd’hui », quelle affirmation tire une meilleure conclusion ? La deuxième déclaration puisqu’elle indique une probabilité détaillée d’un événement.

Probabilité

La probabilité d’un événement en mathématiques est la prédiction que cet événement se produira en nombre. La probabilité peut être définie dans une proportion qui varie de 0 à 1, ou elle peut également être exprimée en pourcentage variant de 0 à 100 %. Par exemple, il y a 0,8 % de chances que la réunion soit reportée ou 80 % de chances que la réunion soit reportée. La probabilité est toujours définie pour les événements. Les événements peuvent être de différents types, apprenons ce qu’ils sont et quels sont les types,

Événements

Les événements dans le langage le plus simple sont définis comme le résultat d’une expérience, lorsqu’une expérience est réalisée, un résultat est attendu de l’expérience et le résultat attendu est connu pour être l’événement en probabilité. Chaque fois que le résultat attendu se produira n’est pas vrai, il y a une chance que l’événement se produise, ou qu’il ne se produise pas du tout, la probabilité est en fait la mesure de l’occurrence d’un événement.

Espace d’échantillon

L’espace échantillon est défini comme l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience et un événement est l’un des résultats possibles, de même il peut y avoir plus d’un événement (résultats) d’une expérience. Par conséquent, on peut conclure qu’un événement est un sous-ensemble de l’espace d’échantillonnage.

Types d’événements

Puisqu’il est conclu que les événements sont les sous-ensembles de l’espace d’échantillonnage, il y aura un espace d’échantillonnage pour une expérience, mais il peut y avoir plusieurs événements d’une expérience, il est important de noter que les événements ont également des types différents, découvrons-les en détail,

Les événements indépendants sont ceux dans lesquels le résultat suivant est indépendant du résultat précédent. Le moyen, la probabilité d’occurrence d’un événement restera le même, peu importe combien de fois la même expérience est faite.

Par exemple, prenons l’exemple de lancer un dé, un dé est lancé une fois et la probabilité d’obtenir un nombre pair est de 0,5, maintenant les dés sont lancés à nouveau, mais la probabilité d’obtenir un nombre pair ne sera que de 0,5. Cela signifie que la probabilité de l’événement est indépendante de ses résultats précédents, ces événements sont appelés événements indépendants.

Les événements dépendants sont ceux dans lesquels le résultat suivant dépend des résultats précédents, ce qui signifie que la probabilité d’un événement changera en fonction de ses résultats précédents.

Par exemple, prenons l’exemple de tirer des boules d’un sac, il y a 4 boules noires et 3 rouges dans un sac, une boule est tirée et elle est sortie noire (au premier tirage, la probabilité d’une boule noire était 4/7 = 0,571. Lorsqu’une boule est tirée la prochaine fois, la probabilité que la boule noire se produise changera car il y a maintenant moins de boules dans le sac (il reste 3 boules noires et 3 boules rouges), d’où la probabilité d’obtenir une boule noire sera de 3/6 = 0,5. Ces types d’événements sont appelés événements dépendants.

Noter : Dans l’exemple ci-dessus, il existe un moyen de convertir cet événement dépendant en événement indépendant, cela peut être fait par Remplacement. Si, après chaque expérience, la balle est à nouveau conservée dans le sac, l’espace échantillon de l’expérience ne changera pas et, par conséquent, la probabilité de l’événement restera également la même.

Tout événement qui comprend un seul résultat de l’espace échantillon est appelé événement simple.

Par exemple, l’espace échantillon de lancer un dé S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et l’événement pour obtenir moins de 2, E = {1}, où E a un seul résultat tiré de l’échantillon l’espace, donc l’événement est un événement simple.

Un événement composé est juste à l’opposé de ce qu’est un événement simple, c’est-à-dire que tout événement qui comprend plus d’un seul résultat ou plus d’un seul point de l’espace échantillon, cet événement est appelé événement composé.

Par exemple, S={1, 2, 3, 4, 5, 6} et E= {3, 4, 5}, ici E est un événement composé.

  • Des événements mutuellement exclusifs

Si les deux événements n’ont rien en commun, alors ils sont appelés événements mutuellement exclusifs, les événements mutuellement exclusifs sont similaires aux ensembles mutuellement exclusifs.

Par exemple, S (espace échantillon)= {23, 25, 27, 29, 31}, E1= {23, 25, 27} et E2= {29, 31}, car on voit bien qu’il n’y a rien de commun entre les deux ensembles, d’où les événements E1 et E2 sont des événements mutuellement exclusifs.

AND Event est obtenu par deux ou plus de deux événements et l’opération effectuée sur les événements est l’opération AND,

Par exemple, E1 = {2, 3, 4, 5} et E2 = {3, 4, 7, 8}

E = E1∩ E2 = {3, 4}

L’événement OU est obtenu en effectuant l’opération OU sur deux événements ou plus.

Par exemple, E1 = {2, 3, 4, 5} et E2 = {3, 4, 5, 6}

E = E1∪E2 = {2, 3, 4, 5, 6}

Un événement complémentaire est défini comme l’événement qui a le reste des éléments présents dans l’espace échantillon autre que l’événement donné.

Par exemple, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} et l’événement donné E = {1, 2, 3}

L’événement complémentaire sera, E’ = {4, 5, 6, 7}

Exemples de problèmes

Question 1 : Un dé est jeté dans le jeu de Ludo et E1 désigne l’événement d’obtention de nombres pairs et E2 représente l’événement d’obtention d’un nombre supérieur à 3, Trouvez l’ensemble pour les événements suivants,

  1. E1 ou E2
  2. E1 et E2

Réponse:

L’espace échantillon pour la matrice sera,

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E1 (seulement les nombres pairs)= {2, 4, 6}

E2 (nombre supérieur à 3)= {4, 5, 6}

E1 ou E2= {2, 4, 5, 6}

E1 et E2= {4, 6}

Question 2 : Un dé est lancé et l’ensemble pour l’espace échantillon obtenu est, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E1 est défini comme l’événement d’obtention d’un nombre inférieur à 5 et E2 est défini comme le cas d’obtention d’un nombre supérieur à 2.

Trouvez l’ensemble pour ce qui suit,

  1. E1 mais pas E2
  2. E2 mais pas E1

La solution:

L’espace d’échantillonnage sera, S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E1 (un nombre inférieur à 5)= {1, 2, 3, 4}

E2 (un nombre supérieur à 2)= {3, 4, 5, 6}

  1. E1 mais pas E2 = {1, 2}
  2. E2 mais pas E1 = {5, 6}

Question 3 : Écrivez l’espace échantillon pour lancer trois pièces à la fois, répondez également à l’événement de 2 exactement 2 faces à la fois.

Réponse:

Lorsqu’une pièce est lancée à la fois, l’espace d’échantillonnage est {H, T} puisque pile ou face peut en résulter. Cependant, lorsque trois pièces sont lancées en même temps, la combinaison de différentes possibilités peut se produire. Ces possibilités ensemble seront composées d’un espace échantillon,

Lancer trois pièces, S = {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (T, T, H), (T, H, T), (H, T, T), (T, T, T)}

Par conséquent, l’espace d’échantillonnage comprend 6 résultats possibles.

Événement (E) pour l’apparition d’exactement deux faces,

E= {(H, H, T), (H, T, H), (T, H, H)}

Question 4 : Nommez les types d’événements obtenus à partir des expériences ci-dessous,

  1. Une pièce est lancée pour la 5e fois et le cas d’obtenir une queue lorsque les quatre premières fois, le résultat était une tête.
  2. S (espace échantillon)= {1, 2, 3, 4, 5} et E= {4}
  3. S= {1, 2, 3, 4, 5} et E= {2, 4}
  4. S= {1, 2, 3, 4, 5}, E1= {1, 2} et E2= {3, 4}

Réponse:

  1. Peu importe combien de fois la pièce est lancée, à chaque fois la probabilité d’obtenir une pile sera de 0,5 quels que soient les résultats précédents, donc l’événement sera un événement indépendant.
  2. E= {4} est un événement simple.
  3. E= {2, 4} est un événement composé.
  4. E1 et E2 sont des événements mutuellement exclusifs.

Question 5 : Que sont les événements impossibles et sûrs ?

Réponse:

Les événements impossibles sont ceux qui ne doivent jamais se produire, ce sont les ensembles nuls et sont indiqués par {}. La probabilité qu’un événement impossible se produise est de 0. Par conséquent, aucun résultat n’est observé.

Alors que certains événements ne sont rien d’autre que l’ensemble de l’espace d’échantillonnage puisque la probabilité que l’événement se produise dans ce cas est de 1.

Question 6: L’espace d’échantillonnage d’une expérience est donné par,

S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} et l’événement, E est défini comme tous les nombres pairs. Quel sera l’événement complémentaire pour E.

Réponse:

S= {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}

E (tous les nombres pairs) = {10, 12, 14, 16}

E’ (complémentaire de E)= {11, 13, 15, 17}

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