Montrer que le carré d’un entier impair est toujours impair

Cet article se concentre sur la discussion en détail de la preuve de la raison pour laquelle le carré d’un entier impair est toujours un nombre impair.

Nombre impair:
Un nombre est dit impair s’il n’est pas divisible par 2, ou si un nombre peut être exprimé sous la forme (2k +1), pour un entier k, alors le nombre est appelé nombre impair.

Racine carrée:
Étant donné deux nombres A et B, si A * A = B alors, A est connu comme la racine carrée de B.

Énoncé du problème :
Le carré d’un entier impair est toujours un nombre impair.

Preuve:
Cette section traite de la preuve de l’énoncé du problème ci-dessus –

1. Considérez un entier impair, X. Selon la définition ci-dessus, A peut être écrit comme-

X = (2k + 1), for some integer k

2. Maintenant, en élevant les deux côtés-

X2 = (2k + 1)2 ---(1)

3. La formule du carré de la somme de 2 nombres est-

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

4. En utilisant la propriété ci-dessus dans l’équation (1)-

X2 = (2k)2 + 4k + 1
X2 = 4k2 + 4k + 1 ---(2) 

5. Maintenant, faisons quelques réarrangements dans l’équation 2 comme-

X2 = 2(2k2 + 2k) + 1

6. Notez le côté droit de l’équation ci-dessus. Puisque K est un entier, (2k2 + 2k) est aussi un entier. Maintenant, supposons un entier, m = (2k2 + 2k). L’équation ci-dessus peut être écrite comme-

X2 = (2m + 1), for some integer m

7. À partir de l’équation ci-dessus et de la définition d’un nombre entier impair, on peut conclure que X2 est aussi un entier impair, ce qui prouve notre affirmation selon laquelle le carré d’un entier impair est toujours impair.

Exemple:
Pour X = 3-

1. Mettez la valeur X = 3 dans les équations ci-dessus étape par étape-

X = (2k + 1), for some integer k
3 = (2k + 1), for k = 1 (integer)

2. Maintenant, si le carré de X est pris-

X2 = (2k + 1)2
X2 = 4K2 + 4K + 1

3. Encore une fois, après avoir fait les arrangements, X2 peut être écrit comme-

X2 = 2(2k2 + 2k) + 1
for X = 3,
9 = 2(2k2 + 2k) + 1 

4. Pour k = 1, (2k2 + 2k) vaut 4. Soit m= (2k2 + 2k) = 4 soit

9 = 2m + 1, for m = 4 (integer)  

Maintenant, à partir de la définition ci-dessus d’un entier impair, on peut dire que 9 est un nombre impair, ce qui implique que le carré d’un entier impair (dans ce cas, 3) est toujours impair. Par conséquent, prouvé.

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