Intervalles croissants et décroissants – GeeksforGeeks

Les dérivés sont le moyen de mesurer le taux de variation d’une variable. En ce qui concerne les fonctions et le calcul, les dérivées nous donnent beaucoup d’informations sur la forme de la fonction et son graphique. Ils donnent des informations sur les régions où la fonction est croissante ou décroissante. Ils sont également utiles pour connaître les valeurs maximales et minimales atteintes par une fonction. Le graphique d’une fonction, lorsqu’il est tracé à travers les informations collectées à partir des dérivés, peut nous aider à trouver la limite et d’autres informations sur le comportement de la fonction.

Dérivés

Une dérivée est un point sur la fonction qui nous donne la mesure du taux de variation de la fonction à ce point particulier. Géométriquement parlant, ils nous donnent des informations sur la pente de la tangente en ce point. Cette information peut être utilisée pour connaître les intervalles ou les régions où la fonction est croissante ou décroissante. Une fois que ces intervalles sont connus, il n’est pas très difficile de déterminer les vallées et les collines dans le graphique de la fonction. La figure ci-dessous montre une fonction f(x) et ses intervalles où elle augmente et diminue.

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Pour une fonction f(x). Pour un intervalle que j’ai défini dans son domaine.

  1. La fonction f(x) est dite croissante dans un intervalle I si pour tout a < b, f(a) ≤ f(b).
  2. La fonction f(x) est dite décroissante dans un intervalle I si pour tout a < b, f(a) ≥ f(b).

La fonction est dite strictement croissante si pour tout a < b, f(a) < f(b). Une définition similaire est valable pour le cas strictement décroissant.

Intervalles croissants et décroissants

Le but est d’identifier ces zones sans regarder le graphique de la fonction. Pour cela, regardons les dérivées de la fonction dans ces régions. Le fait que ces dérivées ne sont rien d’autre que la pente des tangentes à cette courbe est déjà établi. La figure ci-dessous montre les pentes des tangentes en différents points de cette courbe.

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Notez que dans les régions où la fonction diminue, la pente de la courbe est en fait négative et positive pour les régions où la fonction augmente. La pente aux sommets et aux vallées est nulle. Donc, pour dire formellement.

Disons que f(x) est une fonction continue sur [a, b] et dérivable dans l’intervalle (a, b).

  1. Si f'(c) > 0 pour tout c dans (a, b), alors on dit que f(x) est croissante dans l’intervalle.
  2. Si f'(c) < 0 pour tout c dans (a, b), alors f(x) est dite décroissante dans l'intervalle.
  3. Si f'(c) = 0 pour tout c dans (a, b), alors f(x) est dite constante dans l’intervalle.

Points critiques

Dans le diagramme précédent, notez comment la fonction passe de décroissante à croissante ou de croissante à décroissante. Il y a une vallée ou un pic. Ces vallées et pics sont des points extrêmes de la fonction, et sont donc appelés extrema. Il ressort assez clairement de la figure qu’à ces points, la dérivée de la fonction devient nulle. La fonction atteint ses valeurs minimale et maximale à ces points.

Remarque : Une fonction peut avoir n’importe quel nombre de points critiques. Alors que tous les points critiques ne donnent pas nécessairement la valeur maximale et minimale de la fonction. Mais chaque point critique est une vallée qui est un point minimum dans la région locale.

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Dans la figure ci-dessus, il y a trois extrêmes, deux d’entre eux sont des minima, mais il n’y a qu’un seul maximum global et un seul minimum global. Donc formellement,

Pour une fonction f(x), un point x = c est un extrema si,

f'(c) = 0

Identifier les intervalles croissants et décroissants

Il ressort des figures ci-dessus que chaque extrema de la fonction est un point où sa dérivée change de signe. C’est-à-dire que la fonction va soit de l’augmentation à la diminution ou vice versa. Lors de la recherche des régions où la fonction est croissante ou décroissante, il devient essentiel de regarder autour des extrêmes. Pour toute fonction f(x) et un intervalle donné, les étapes suivantes doivent être suivies pour trouver ces intervalles :

  1. Vérifiez si la fonction est différentiable et continue dans l’intervalle donné.
  2. Résolvez l’équation f'(x) = 0, les solutions à ces équations nous donnent des extrêmes.
  3. Pour un point extrême x = c, regardez dans la région au voisinage de ce point et vérifiez les signes des dérivées pour trouver les intervalles où la fonction augmente ou diminue.

Examinons quelques exemples de problèmes liés à ces concepts.

Exemples de problèmes

Question 1 : Pour la fonction donnée, indiquez si elle augmente ou diminue dans la région [-1,1]

f(x) = eX

La solution:

Pour analyser une fonction, la première étape consiste à rechercher les points critiques.

f(x) = eX

f'(x) = eX …. (1)

Résolution de l’équation f'(x) = 0

eX = 0

Il n’y a pas de point critique pour cette fonction dans la région donnée. Cela signifie que dans la région donnée, cette fonction doit être soit monotone croissante, soit monotone décroissante. Pour cela, vérifiez la dérivée de la fonction dans cette région.

f'(x) > 0 dans l’intervalle [0,1].

Ainsi, la fonction est croissante.

Question 2 : Pour la fonction donnée, indiquez si elle augmente ou diminue dans la région [2,4]

f(x) = x2 – x – 4

La solution:

Pour analyser une fonction, la première étape consiste à rechercher les points critiques.

f(x) = x2 – x – 4

f'(x) = 2x – 1 …. (1)

Résolution de l’équation f'(x) = 0

2x – 1 = 0

⇒ x = 0,5

Le point critique est en dehors de la région d’intérêt. Cela signifie que dans la région donnée, cette fonction doit être soit monotone croissante, soit monotone décroissante. Pour cela, vérifiez la dérivée de la fonction dans cette région.

f'(x) > 0 dans l’intervalle [2,4].

Ainsi, la fonction est croissante.

Question 3 : Trouvez les régions où la fonction donnée est croissante ou décroissante.

f(x) = 3x + 4

La solution:

Pour analyser une fonction, la première étape consiste à rechercher les points critiques.

f(x) = 3x + 4

f'(x) = 3

Cette équation n’est pas nulle pour tout x. Cela signifie que la dérivée de cette fonction est constante dans son domaine.

Puisque f'(x) > 0 pour toutes les valeurs de x.

La fonction est monotone croissante sur son domaine.

Question 4 : Trouvez les régions où la fonction donnée est croissante ou décroissante.

f(x) = x2 + 4x + 4

La solution:

Pour analyser une fonction, la première étape consiste à rechercher les points critiques.

f(x) = x2 + 4x + 4

f'(x) = 2x + 4 …. (1)

Résolution de l’équation f'(x) = 0

2x + 4 = 0

⇒ x = -2

Ainsi, à x =-2 la dérivée cette fonction change de signe. Vérifiez le signe de la dérivée dans son voisinage.

à x = -1

f'(x) = 2(-1) + 4 = 2 > 0

Cela signifie que pour x > -2 la fonction est croissante.

à x = -3

f'(x) = 2(-3) + 4 = -2 < 0

Pour x < -2, la fonction est décroissante.

Question 5 : Trouvez les régions où la fonction donnée est croissante ou décroissante.

f(x) = x2 + 3x

La solution:

Pour analyser une fonction, la première étape consiste à rechercher les points critiques.

f(x) = x2 + 3x

f'(x) = 2x + 3 …. (1)

Résolution de l’équation f'(x) = 0

2x + 3 = 0

⇒ x = -1,5

Ainsi, à x =-1,5 la dérivée de cette fonction change de signe. Vérifiez le signe de la dérivée dans son voisinage.

à x = -1

f'(x) = 2(-1) + 3 = 1 > 0

Cela signifie que pour x > -1,5 la fonction est croissante.

à x = -3

f'(x) = 2(-3) + 3 = -3 < 0

Pour x < -1.5, la fonction est décroissante.

Question 6 : Trouvez les régions où la fonction donnée est croissante ou décroissante.

f(x) = eX + e-X

La solution:

Pour analyser une fonction, la première étape consiste à rechercher les points critiques.

f(x) = eX + e-X

f'(x) = eX – e-X …. (1)

Résolution de l’équation f'(x) = 0

eX – e-X= 0

⇒ eX = e-X

⇒ e2x = 1

⇒ e2x = e0

En comparant les deux côtés de l’équation,

⇒2x = 0

⇒x = 0

Ainsi, à x = 0 la dérivée de cette fonction change de signe. Vérifiez le signe de la dérivée dans son voisinage.

à x = 1

f'(x) = e1 – e-1 > 0

Cela signifie que pour x > 0, la fonction est croissante.

à x = –1

f'(x) = e-1 – e1 < 0

Pour x < 0, la fonction est décroissante.

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